Jeg frasiger mig ethvert ansvar hvis nogen, ved at følge det jeg har skrevet, mister bitcoins/penge. Læs de officielle manualer, eller spørg en professionel. Her leger jeg bare med wallets, private nøgler, seeds for små beløb. Alt hvad du gør er på eget ansvar.
Jeg viser her hvordan man, ud fra allerede genererede nøgler, kan oprette en wallet på Electrum som man kan bruge når man vil købe bitcoins hos copenhagenbitcoin.dk
Jeg har genereret en privat nøgle med bip39-standalone.html.
Jeg starter Electrum:
Jeg vælger ‘Create new wallet”, og giver den navnet ‘Wallet kryptologi.dk’
Jeg vælger standard wallet:
Jeg vælger at jeg har en master key:
Jeg trykker næste, og får et vindue hvor jeg kan indsætte min masterkey:
Min masterkey, fra Account Extended Private Key, kopieres og sættes ind (ikke vist).
Jeg trykker ‘Næste’, indtaster et kodeord til kryptering af min masterkey:
Herefter er min wallet oprettet:
Selv om jeg har valgt ‘Standard wallet’, så er min wallet, fordi den er dannet ud fra en generet privat nøgle af vist type, en anden type wallet end hvis Electrum selv havde generet nøglen.
Min nye wallet generere derfor modtager bitcoin-adresser i et format som copenhagenbitcoin.dk kan forstå.
Jeg frasiger mig ethvert ansvar hvis nogen, ved at følge det jeg har skrevet, mister bitcoins/penge. Læs de officielle manualer, eller spørg en professionel. Her leger jeg bare med wallets, private nøgler, seeds for små beløb. Alt hvad du gør er på eget ansvar.
Hvis man vil købe bitcoins gennem copenhagenbitcoin.dk, så skal man ikke oprette en standard wallet som vist herunder. For at modtage bitcoins fra copenhagenbitcoin.dk, så skal man have en bitcoin modtageradresse. Electrum genererer imidlertid adresser i et nyt format som ikke kan forståes af copenhagnebitcoin.dk. Gå derfor videre til næste afsnit i menuen hvis du vil købe bitcoins gennem copenhagenbitcoin.dk
Oprettelse af standard wallet
Jeg starter programmet Electrum op:
Jeg har allerede en wallet, og programmet beder så om min adgangskode til min wallet. Her skal vi ikke bruge den wallet jeg allerede har, men vi skal oprette en ny wallet, så jeg klikker på ‘Create new wallet’, og navngiver min nye wallet ‘kryptologi.dk wallet’:
Her skal man ikke trykke på Choose, for det er ikke en wallet man allerede har, men en ny wallet. Derfor klikkes på ‘Næste’ nederst i vinduet:
Så skal jeg vælge wallet-type. Jeg vælger standard wallet:
Jeg trykker ‘Næste’, og får følgende vindue:
Da jeg er ved at oprette en helt ny wallet, så vælger jeg ‘Create a new seed’. Dette er min nøgle til mine bitcoins! Jeg trykker ‘Næste’, og får en ‘wallet generation seed’ (ikke vist her), men her er det nederste af siden.
Som der stå, så skal man skrive de ord, der stå øverst i vinduet, ned på et stykke papir. Man skal checke, og dobbeltchecke, at de er skrevet 100% korrekt af. Og, som der står, så skal man helst ikke gemme dem elektronisk, for hvis nogen får adgang til dem, så kan man miste alle sine bitcoins.
Jeg trykker ‘Næste’, og skal så have mine 12 ord kontrolleret; fik jeg skrevet dem korrekt af?
Bemærk at et ‘seed’ består af et udvalg af 2048 ord. Det er derfor Electrum kan gætte hvilke ord du skriver når du begynder at skrive.
Jeg vælger så en adgangskode:
Og så er jeg klar:
Nederst til venstre står der at jeg ingen bitcoins har. Lidt til højre står der at prisen for 1 mBTC er ca. 215 kr. En mBTC er en ‘mille bitcoin’, det 1/1000 bitcoin.
Jeg frasiger mig ethvert ansvar hvis nogen, ved at følge det jeg har skrevet, mister bitcoins/penge. Læs de officielle manualer, eller spørg en professionel. Her leger jeg bare med wallets, private nøgler, seeds for små beløb. Alt hvad du gør er på eget ansvar.
Jeg vil bruge hjemmesiden https://iancoleman.io/bip39/ til at generer privat og offentlig nøgle til brug for mine bitcoin.
Jeg kan på ingen måde anbefale at man genererer sine nøgler via en offentlig hjemmeside. Det er kun fordi Copenhagenbitcoin.dk ikke, her i juli 2021, vil godtage nøglerne fra Electrum at jeg gør det på denne måde. Og jeg gør det kun fordi jeg bruge meget små beløb.
En anden metode, hvormed kan kan købe bitcoins, for almindelige penge, er hos de store udbydere. Man kan så, når man har fået sine bitcoins, overføre dem til sin private wallet administreret på sin egen computer, og dermed handle videre udenom de store udbydere. Det er langt mere sikkert end, som herunder, at generere nøgler på en hjemmside. Men igen, kontrollér og kontrollér igen at det sted, hvor du køber bitcoins, er et hæderligt sted.
Det er naturligvis, som nævnt herover, ikke super sikkert at bruge en internetside til at generere nøgler, nogle vil nok mene at det er decideret dumt. Men nu leger jeg bare, og jeg leger kun med et lille beløb. Har du større beløb, så vil jeg aldeles ikke anbefale at man generer private nøgler via hjemmesider.
Nederst på internet-siden https://iancoleman.io/bip39/ er der et link til en side hvorfra man kan hente programmet der genererer nøgler, der bare er en internetside, ned på egen computer:
Jeg kommer ind på siden:
Nederst er der link til download af programmet:
Klikker man på bip39-standalone.html henter man siden ned.
Man bør så kontrollere at der ikke er ændret noget af hackere, derfor det med PGP og Hash:
Hvordan man kontrollerer det man har hentet ned vil jeg ikke vise her.
Jeg har nu hentet programmet ned, slukket for min internetforbindelse (så ingen kan følge med udefra), og starter programmet op ved at dobbeltklikke på filen bip39-standalone.html
Jeg vil lave nøgler ud fra 24 ord:
Når jeg trykker på GENERATE genereres nøgler.
Jeg noterer de 24 ord ned på et stykke papir, som jeg gemmer god væk.
Disse ord er indgangen til min konto, så de skal holdes hemmelige. Kendskab til ordene giver fuld adgang til ens bitcoin-konto. Og nej, det jeg viser her er bare et eksempel, ikke mine egne hemmelige ord!
Længere ned står mine nøgler:
Som der står: “The account extended keys can be used for importing to most BIP44 compatible wallets, such as mycelium or electrum.”
Jeg kopierer derfor min account extended key, og starter Electrum op…
Jeg printer desuden hele siden ud, og kontrollerer at alt er udskrevet, og gemmer den godt.
Jeg frasiger mig ethvert ansvar hvis nogen, ved at følge det jeg har skrevet, mister bitcoins/penge. Læs de officielle manualer, eller spørg en professionel. Her leger jeg bare med wallets, private nøgler, seeds for små beløb. Alt hvad du gør er på eget ansvar.
Jeg vil nu købe nogle bitcoins fra copenhagenbitcoin.dk
De skal overføres til min Electrum wallet.
Jeg går ind på deres hjemmeside:
Nederst kan jeg se info om køb og salg af bitcoins:
Jeg trykker på ‘Køb bitcoins’ nederst:
Jeg kan se at jeg skal købe for minimum 500 kr. Det er lidt øv, for så meget ville jeg ikke købe for, det er jo bare en test. Men lad mig prøve alligevel!
Der er et begyr til copenhagenbitcoin.dk på 19,50 kr, hvilket er 3,90% af de 500 kr. Når dette gebyr er batalt er der 500 kr – 19,50 kr = 480,50 kr.
Der er ydeligere et såkaldt netværksgebyr. Netværksgebyret er det gebyr man betaler til minerne. Dette gebyr svinger ret meget, og kan nogle gange komme op på 50 kr eller mere, så man skal virkelig passe på at alle ens penge ikke går til betaling af gebyr.
Netværksgebyret afhænger af hvor hurtig man vil have at ens køb (transaktion) skal gå igennem.
Ved at vælge “Langsom (24 timer)” bliver netværksgebyret på 6,31 kr. Vælges “Normal” bliver gebyret ca. 13.43 kr.
Jeg vælger “Langsom (24 timer)”, og indskriver mine informationer i de tomme felter.
De nederste felter er let forståelige. Det første felt er adressen på mine bitcoins. Dén adresse kommer fra Electrum!!!
I min nye wallet i Electrum trykker jeg på ‘Modtag’:
og får vinduet:
Jeg udfylder først felterne ‘Beskrivelse’ og ‘Anmodet beløb’ samt ‘Expires after’.
Antal bitcoin får jeg fra copenhagenbitcoin.dk’s side; det er ca. 0,00222489 BTC. Ved at dividere med 1000 får jeg 2,22489 mBTC. Husk at skrive komma som punktum i Electrum.
Jeg har også sat Expires til 1 week, dvs. en uge. Jeg har jo valgt en langsom transaktion!
Som jeg dog har læst mig til, så er de tre felter til venstre i vinduet kun til privat brug, selv ‘Expires after’ har vist reelt ingen betydning.
Når felterne til venstre er udfyldt, så trykker jeg på ‘New address’. Lidt overraskende så sendes orden straks afsted, det kan ses nederst i vinduet. Det virker lidt underligt, men det har den fordel at den bitcoinadresse der står i feltet til højre er gjort aktiv, så det gælder om at kopiere den.
Nu hvor jeg har en bitcoinadresse, indsættes denne på copenhagenbitcoin.dk’s side.
Resten af felterne udfyldes, og til sidst skal der overføres de 500 kr fra min bankkonto til copenhagenbitcoin.dk:
Nu er det bare at vente.
Når der er kommet gang i transaktionen, så bør jeg kunne se det nederst i vinduet under ‘Historik’:
Her í dag, ca. 12 timer senere, kan jeg se at der er ved at ske noget:
Der står at der er 2.2125 mBTC på vej til mig. Se nederst og øverst i vinduet.
Lidt senere er ordren gået igennem:
Det var det!
Målet er nået. Jeg fik oprettet en wallet via programmet Electrum. Min wallet ligger ikke hos de store online handelsplatforme. Min wallet styres af programmet Electrum. Jeg fik købt bitcoins, og de blev overført til min wallet.
For en sikerheds skyld, så sender jeg straks de bitcoins jeg har modtaget til en standard-wallet oprettet inde i Electrum, uden brug af Bip39-standalone.html og import af usikre nøgler.
Jeg frasiger mig ethvert ansvar hvis nogen, ved at følge det jeg har skrevet, mister bitcoins/penge. Læs de officielle manualer, eller spørg en professionel. Her leger jeg bare med wallets, private nøgler, seeds for små beløb. Alt hvad du gør er på eget ansvar.
Jeg viser her hvordan man installerer programmet Electrum.
Først findes adressen til Electrum via søgemaskine. Hent kun programmet fra den officielle internetside, aldrig fra andre sider. Vær sikker på at der er den officielle side du henter fra.
Electrum har en meget fin hjemmeside med vejledninger. Vil du installere Electrum, så læs også de officielle vejledninger.
Gå så ind på Eceltrums hjemmside:
Klik på ‘Download’, og du kan se følgende:
Jeg har en Mac, så jeg klikker på ‘Executable for OS X’. Programmet downloades, og pakkes ud på min computer. Jeg får vinduet:
Jeg dobbeltklikker på Electrom-ikonet, og programmet startes op.
Det er en god ide at trække programmet ind i mappen med ‘Programmer’ på Mac’en, så det altid ligger under programmer.
Når man installerer programmer på Mac’en, som ikke kommer fra App Store, så skal man give tilladelse til at programmet vil køre. Hvordan man gør vil jeg ikke komme ind på her.
Jeg frasiger mig ethvert ansvar hvis nogen, ved at følge det jeg har skrevet, mister bitcoins/penge. Læs de officielle manualer, eller spørg en professionel. Her leger jeg bare med wallets, private nøgler, seeds for små beløb. Alt hvad du gør er på eget ansvar.
Om de næste afsnit
I de næste afsnit vil jeg vise hvordan man opretter en wallet til bitcoins, hvordan man køber bitcoins, og hvordan man overfører bitcoins.
Det jeg gør her og på de næste sider indeholder en del sikkerhedsrisiko. Jeg viser hvordan man kan gøre, for at få en lidt bedre forståelse af ‘det med bitcoins’. Jeg leger med små beløb. Har man større beløb, så vil jeg fraråde den fremgangsmåde jeg beskriver her.
Min metode her er nok ikke den letteste metode der findes, og det har drillet lidt undervejs, men det der volder problemer er netop det man lærer mest af, hvis man altså ikke giver op.
Når alt kommer til alt, så er det, jeg gør her, faktisk ikke så svært. Men det tog lidt tid at få styr på det, og det er det jeg forklarer på de næste indlæg. Men igen, der er sikkert nogle der ved meget mere om det end mig, jeg prøver bare at finde ud af hvordan det foregår det der med bitcoins.
De bitcoins jeg vil købe, køber jeg hos copenhagenbitcoin.dk. Dette er ikke en anbefaling af stedet, og jeg er ikke ansvarlig for hvis du bliver snydt. Ikke at jeg ikke stoler på dem, men jeg kender dem ikke, og kan ikke garantere for noget.
Mine bitcoins administreres via programmer Electrum, der installeres på egen computer. Jeg anbefaler heller ikke dette program, jeg har ikke prøvet andre tilsvarende programmer af, og jeg ved intet om programmets sikkerhed og troværdighed. Men programmet er vist meget brugt; undersøg det selv.
Hvis nogle hacker ens computer, så risikerer man at miste alle bitcoins, så der skal være styr på sikkerheden med opdatering, antivirus m.v.
Valget af copenhagenbitcoin.dk og Electrum kommer af, at jeg har søgt og læst, vurderet troværdighed ud fra hvad andre har skrevet, og så er valget faldet på de to. Desuden leger jeg kun med et lille beløb, og går det galt så er det bare synd, så er jeg en erfaring rigere.
Det viser sig at der er en lille forhindring undervejs. For at kunne købe bitcoins hos copenhagenbitcoin.dk, så skal man opgive en modtager bitcoin-adresse, som ens købte bitcoin skal sendes til.
De adresser som Electrum genererer godtages ikke af copenhagenbitcoin.dk
Derfor må jeg oprette en ikke-standard wallet i Electrum som kan generere bitcoin-adresser som kan godtages af copenhagenbitcoin.dk
Derfor er fremgangsmåden:
Installation af programmet Electrum på egen computer.
Generering af nøgler m.v. vha. hjemmesiden https://iancoleman.io/bip39/
For at købe bitcoins for almindelige penge skal man
Have en bitcoin wallet (tegnebog til bitcoins).
Finde et sted på nettet hvor man kan købe bitcoins for almindelige penge.
De bitcoins man køber for penge, overføres så til ens bitcoin wallet, idet man ved købet angiver en bitcoin-adresse (modtager-adresse) hørende til ens wallet.
Salg af bitcoins til penge
Fot at sælge bitcoins skal man
Overføre bitcoins fra sin bitcoin wallet til et sted hvor de kan omsættes til almindelige penge, der så indsættes på f.eks. ens bank-konto.
Her overfører man bitcoins fra sin wallet til modtagerens bitcoin-adresse. Man skal naturligvis også angive bankoplysninger.
Sende og modtage bitcoins
Når man først har bitcoins, så kan man sende bitcoins til en anden person, og man kan (bare man har en wallet) modtage bitcoins fra andre, uden om de ‘officielle kanaler’.
Jeg har brugt copenhagenbitcoin.dk til at købe og sælge bitcoins. Det fungerede fint for mig, jeg har både købt bitcoins for penge, og solgt bitcoins og fået penge ind på den almindelige bankkonto.
Men der er mange andre steder hvor man kan købe og sælge bitcoins. Det her er ikke en anbefaling af copenhagenbitcoin.dk, jeg kender dem ikke, jeg skriver blot at jeg har brugt dem, og at det fungerede for mig.
Administration af wallet via Electrum
Jeg har installeret programmet Electrum på min egen computer. Electrum bruger jeg til at oprette og administrere wallets, og til at sende og modtage bitcoins.
Jeg anbefaler ikke Electrum, jeg har installeret det og brugt det, det fungerede fint for mig.
Hvis man vil bruge programmet Electrum, så gør man klogt i at læse de officielle vejledninger! F.eks. er der vejledning til brug af programmet, og ikke mindst, vejledning i hvordan man kan få begyret for transaktioner så langt ned som muligt,
Der er andre tilsvarende programmer som kan bruges til at sende og modtage bitcoins.
Lidt om sikkerhed
I det hele taget er handel med bitcoins forbundet med stor risiko. Man skal vide hvad man gør, ellers kan man dumme sig. Modsat når man handler med almindelige penge, der kan man næsten ikke dumme sig; man skal være virkelig uheldig for at sende penge til en forkert person. Har man mistet sin kode til banken, så får man jo bare en ny.
Sender man alle sine bitcoins til en forkert adresse, så har man mistet dem alle. Der er ingen måder hvorpå man kan få dem tilbage.
Hvis nogen får fat i ens kodeord, private nøgler, seed-phrases m.v., så kan de tage alle ens bitcoins.
Nogle anbefaler at man bruge de store kommecielle handelsplatforme; men læser man f.eks. anmeldelser på trustpilot.dk, så er der enormt mange der er meget utilfredse; folk mister deres bitcoins, de kan ikke få deres indestående ud m.v.. Nu er det typisk også de utilfredse der skriver på trustpilot, men alligevel. Der har været tilfælde hvor folk har mistet alle bitcoins fordi handelsplatforme har været hacket, eller hvor ejeren er stukket af.
Det mest sikre er, ifølge hvad jeg har læst, at købe en “hardware wallet”, f.eks. en ‘Ledger’, som er en slags kodet USB-stick. Den indeholder ikke ens bitcoins, men den holder på ens private nøgler så man kan sende bitcoins til andre.
Man bør nok også oprette en ‘read-only-wallet’. Skal man checke sin konto, så er en read-only-wallet en god ide; der kan ikke handles fra den. Ideen er, at hvis nogen hugger kodeordet til en read-only-wallet, så kan de de kun se beholdning af bitcoins, de kan ikke sende bitcoins til andre.
Fordi bitcoins han sendes og modtages uden udefrakommende kontrol, så er det et slaraffenland for kriminelle grupper. Da det offentlige er mere eller mindre imod brug af bitcoins, så vender det offentlige også ryggen til. Derfor er man som privatperson ladt lidt alene.
Mange kan dog godt finde ud af at administrere deres bitcoins på en fornuftig og sikker måde, det er sådan set ikke så svært, men man ved jo aldrig hvad der kan ske.
Og har man bitcoins for store værdier, så bruger man naturligvis flere wallets, gemt på forskellig måde, så værdien er fordelt ud.
Mange har hørt om bitcoins; nogle har været med i lang tid, andre kun i kort tid, og mange har aldrig prøvet at handle med bitcoins.
Hvorfor står der noget om bitcoins på hjemmesiden?
Bitcoins bygger på kryptering og andre matematiske procedurer. Derfor er det interessant at se på bitcoins, og den matematiske teori der ligger bag.
Jeg skriver om bitcoins, men det er på ingen måde en anbefaling til køb af bitcoins. Det er selve fænomenet ‘bitcoins’ der er interessant.
Jeg skriver først lidt løst om bitcoins. Andre kan sikkert komme med mere velunderbyggede forklaringer og påstande; men her er min mening.
Bitcoins er decentrale
Man kan, helt uden om de store kommercielle bitcoin-handelsplatforme, kun ved brug af et program installeret på ens egen computer, oprette en wallet (elektronisk tegnebog) til bitcoins, administrere denne wallet, sende og modtage bitcoins.
Skal man derimod købe bitcoins for almindelige penge, eller sælge bitcoins for at få almindelige penge ud, så må man nok gøre dette gennem etablerede virksomheder.
Inden man gør det, så skal man sikre sig at dem man køber bitcois af, for almindelige penge, eller dem man sælger bitcoins til, for at få alimindelige penge ud, er hæderlige. Der er altid nogle der vil snyde, stjæle ens penge, og dem skal man undgå.
Skal man oprette en konto i banken, så skal man en masse igennem. Med bitcoins kan man, som nævnt, oprette en wallet på få minutter, og så er man i gang.
Når man køber, eller sender bitcoins til andre, så udfører ‘minerne’ en masse beregninger. Disse beregninger skal til for at transaktionen går igennem, bliver godkendt. Det skal de naturligvis have betaling for. Minerne tjener på mine overførsler, men ellers har jeg lavet det således at mine bitcoins kører udenom alle andre komercielle virksomheder. Har jeg brug for en ny wallet, eller vil min ven/veninde have en wallet, så opretter jeg den på få minutter, og vedkommende er i gang.
Det eneste problem er, at gebyret ved overførsel p.t., dvs. 2021-07-06, er urimeligt højt. Uden at være helt sikker, så virker det som om, at betaler man 10 kr. pr overførsel, så går den hurtig igennem. Er man mere nærig, og har tid til at vente, så kan man få begyret ned under 1 kr. pr. overførsel. Jeg viser hvordan i et senere afsnit; ‘Elektrum – Send og modtag’. I dag, april 2022, fik jeg overført 150 kr i bitcoins til Libre Office, som leverer en super god gratis officepakke. Det kostede vist kun 20 øre i overførsels-udgifter.
Bemærk at jeg kun har bitcoins for få hundrede kr., så der er intet at komme efter!
Hvad er bitcoins?
Bitcoins er noget man kan købe for almindelige penge. Man kan også sælge bitcoins, og få sine almindelige penge tilbage. Man kan overføre bitcoins til en anden person. Andre kan overføre bitcoins til dig. I forholdsvis få butikker kan man betale med bitcoins.
Bitcoins er noget man kan gemme i en elektronisk pung (wallet), og bitcoins kan bruges til at overføre værdi fra en person til en anden. På samme måde som man bruger almindelige penge; de står på ens konto i banken, eller man har gemt dem hjemme i form af fysiske mønter eller sedler, og de kan gives til andre personer.
Man kan så spørge hvad en bitcoin egentlig er. En bitcoin er ikke en fysisk mønt. Man kan ikke røre ved en bitcoin. Man kan ikke se en bitcoin, som sådan.
Men sådan er det jo efterhånden også med de sædvanlige penge; de står i banken, man kan bruge dem til at betale med, man kan overføre nogle penge til en anden. En fysisk en-krone er en mønt, en ‘en-krone-mønt’, men hvad er det; en fysisk en-krone er jo bare noget metal man har smeltet og trykket ud til noget vi kalder for en en-krone, i form at en mønt. Mønten i sig selv, som metal, er næsten værdiløs, men den repræsenterer en værdi på en krone.
Oprindeligt blev almindelige penge brugt til at lette det med at købe/sælge; i stedet for at jægeren skulle bytte en død hjort for en sæk mel fra mølleren, og så gå hen til smeden med sækken med mel for at få skoet sin hest, så kunne hjorten byttes for penge hos mølleren, pengene kunne jægeren så til betale til smeden, og smeden kunne så vælge at købe en sæk mel fra mølleren med de selv samme penge.
På samme måde kan man tænke på bitcoins som et betalingsmiddel.
Hvorfor bitcoins?
Den store interesse for bitcoins skyldes nok, at kursen på bitcoins er steget sindsygt meget i værdi de sidste år. Mange vil gerne være med på vognen i håbet om den store gevinst, men bitcoins kan falde lige så meget i værdi som de er steget!
Det er naturligvis ens eget valg om man vil gå ind i bitcoins. Nogle tror på den store gevinst. Jeg selv tror at man skal passe rigtig meget på, kursen ér jo steget. Der er også en masse andre digitale valutaer, man skulle vist endda kunne oprette sin egen digitale valuta.
Bitcoins har kun en værdi fordi man tror på at de bitcoins man har, og måske vil sælge, kan sælges til en ordentlig pris, til en anden. Reelt er bitcoins jo ikke andet digitale data, og mister folk interessen eller tiltroen til dem, så kan de blive stort set værdiløse.
Men derfor kan man jo godt lege lidt med bitcoins, og det er ikke så svært.
Bitcoin er en digital valuta. I princippet er en bitcoin, som nævnt, intet værd, og alligevel kan en bitcoin sælges for over 200.000 kr. Værdien bygger på, at der er nogle der vil købe bitcoins, og nogle der vil sælge bitcoins.
Er bitcoins noget værd?
Man kan så spørge hvorfor man skal købe noget (bitcoins) som sådan set intet er værd. Svaret er, at der er mange andre tind man kan købe, som vel heller ikke er noget værd.
En kunstner, som måske ikke var særlig talentfuld, måske var han excentriker, han blev kendt, folk købte hans malerier, han kendte de rigtige, kom i de rigtige kredse, hans billederne sælges nu for millioner, men billederne er jo, som billeder, intet værd, og de er måske tilmed ‘grimme’.
Et billede, malet af van Gogh, er mange milliioner værd. En kopi, som eksperter måske ikke engang kan afgøre ægtheden af, uden at kende svaret, er intet værd. Det er ikke billedet i sig selv der er noget værd, det er malerens navn på billedet, det er den fælles ide om at det, denne kunstner har frembragt, er unikt og originalt, og ‘anerkendt’, og derfor er billedet noget værd.
Reelt er det vel kun ting der kan bruges til noget, ting som har en funktion, der er noget værd. Alt andet; kunst, penge, bitcoins, samlekort, … er i princippet intet værd.
Der er dog ingen der er bleve fantastisk rige af at have gemt en pose med mønter, men der er en del som er blevet meget rige af at have gemt bitcoins i mange år.
Hvis tiltroen til bitcoins falder, så falder kursen på bitcoins, og den kan sagtens blive nul hvis ingen gider have bitcoins.
Men ideen med bitcoins er skøn, en global digital valuta, decentral, ingen bestemmer over den, alle kan bruge den, gebyr betales ikke til de store banker, men til lokale ‘minere’.
Selv om det kan være meget vanskeligt at faktorisere et stort tal m, så kan man alligevel godt afgøre om et givet tal m er et primtal.
Det lyser måske mærkeligt. Men vi kan jo også let afgøre om en dør er låst, uden at låse den op. Vi behøver ikke engang have en nøgle til låsen, det er bare at tage i håndtaget, så kan vi se om den er låst.
Der er forskellige primtalstests. Vi er allerede stødt på en metode; vi kan nemlig bruge Fermats lille sætning: Er p et primtal, og er a er helt tal som p ikke går op i, så vil
\( a^{p-1} \equiv_p 1 \)
Her har jeg skrevet \(\equiv_p\) fordi vi regner modulo p.
Er a derfor et helt tal, mindre end primtallet p, så skal \(a^{p-1}\) være kongruent med 1, når vi regner modulo p. Det er her primtalstesten kommer ind i billedet. Hvis \(a^{p-1}\) nemlig ikke er kongruent med 1, modulo p, så er p ikke et primtal!
Vi ved at tallet p = 11 er et primtal. Vi kan let beregne \(1^{p-1}\), \(2^{p-1}\), \(3^{p-1}\), …, \(10^{p-1}\) modulo p:
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
\(a^{10}\)
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
\(a^{11-1}\) modulo 11.
Da tallet 11 er et primtal, så får vi lutter 1-taller.
Vi ved også at tallet 15 ikke er et primtal. Vi kan tage hvert af de hele tal 1, 2, 3, …, 14, og opløfte dem i 14. potens. Hvis tallet 15 var et primtal, så skulle alle 14. potenser af tallene 1, 2, 3, …, 14 give 1, modulo 15:
a
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
\(a^{10}\)
1
4
9
1
10
6
4
4
6
10
1
9
4
1
\(a^{15-1}\) modulo 15.
Vi ser, at vi kun sjældent for et 1’tal, når vi opløfter hvert af tallene 1, 2, 3, …, 14 i 14. potens, og regner modulo 15. Der er dog enkelte 1-taller.
Når vi skal undersøge om et stort tal m er et primtal, så kan vi altså opløfte forskellige hele tal a, der er mindre end m, i m-1’te potens. Hvis bare en af disse beregninger givet et tal som ikke er er kongruent med 1, modulo m, så er m ikke et primtal.
Lad og se på tallet 129. Jeg ved ikke om det er et primtal. Lad og vælge forskellige hele tal a, der er mindre end 129, og opløfte dem i den 128. potens. Lad os begynde med de små hele tal:
a
1
2
3
4
5
6
\(a^{128}\)
1
4
9
16
25
36
\(a^{128}\) modulo 129.
Vi ser ret hurtigt at vi ikke kun får 1-taller, når vi regner modulo 129. Dermed er tallet 129 ikke et primtal. Faktisk er \(129 = 3 \cdot 43\), så 129 er altså et sammensat tal.
Vi kan lave lidt statistik over, hvor mange 1-taller der kommer, når vi opløfter alle tallene 1, 2, 3, …, m-1 til den m-1’te potens. Lad os se på de første ulige tal, større end 100:
m
101
103
105
107
109
111
113
115
117
Antal 1-taller
100
102
16
106
108
4
112
4
8
Antal 1-taller blandt \(a^{m-1}\) modulo m, for a = 1, a = 2, a = 3, …, a = m -1.
Vi ser, at enten får vi kun få 1-taller, ellers også får vi ikke andet end 1-taller (når m er et primtal).
Vi kan prøve med nogle lidt større værdier for m:
m
1001
1003
1005
1007
1009
1011
1013
1015
1017
Antal 1-taller
80
4
16
4
1008
4
1012
24
16
Antal 1-taller blandt \(a^{m-1}\) modulo m, for a = 1, a = 2, a = 3, …, a = m -1.
For m = 1001 finder vi altså 80 et-taller blandt tallene \(a^{1000}\) modulo 1001. Hvis vi derfor, for tallet m = 1001, prøver med 10 tilfældige tal, så kan vi godt ramme ind i nogle af dem der, når de opløftes i potensen 1000, giver 1 modiulo 1001. Men 80 ud af 1001 er trods alt kun 8%. Det er nogenlunde samme sandsynlighed som det at få f.eks. en 12’er med en 12-sidet terning. Det kan man godt få en gang, måske to gange i træk, men næppe 10 gange i træk.
Konklusionen er, at man kan bruge Fermats lille sætning til at undersøge om et givet tal m er et primtal. Det er ikke en vandtæt metode, man kan komme ud for at de første mange tal man prøver med alle giver et et-tal, men det er trods alt meget lidt sandsynligt.
Der findes bedre metoder, der med større sikkerhed kan afgøre om et helt tal er et primtal.
Der findes også en metode som med 100% sikkerhed kan afgøre om et helt tal er et primtal.
Python-program og grafer
Hvis m er et stort tal, så er det naturligvis ret tidskrævende, hvis man manuelt vil undersøge, hvor mange af potenserne \(a^{m-1}\) der giver 1.
Jeg har derfor lavet et lille Python-program som løser det for os.
mmax=100
for m in range(1,mmax+1):
antal=0
for a in range(1,m):
if pow(a,m-1,m)==1:
antal+=1
print(m,antal)
I første linie sættes mmax til 100. Derefter er der en løkke; m sættes først til 1, så til 2, så til 3, så til 4, … og til sidst til mmax.
For hver værdie af m gennemløber a en løkke, med a = 1, a = 2, a = 3, … a = m-1.
For hver værdi af m optælles så antallet af gange \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m. Løkken med a sætter først a til 1. Så undersøges om \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m. Hvis \(a^{m-1} \equiv 1\) så forøges antal med 1, eller lades antal være uændret. Herefter sættes a til 2. Så undersøges om \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m. Hvis \(a^{m-1} \equiv 1\) så forøges antal med 1, eller lades antal være uændret. Sådan fortsættes indtil a = m-1.
Begyndelsen af outputtet ses her:
1 0
2 1
3 2
4 1
5 4
6 1
7 6
8 1
9 2
For m = 1 er der ingen tal, som opløftet til 0’te potens, giver 1.
For m = 2 er der ét tal, som omløftet til 1’te potens, giver 1, når vi regner modulo 2. \(0^1 \equiv 0\) og \(1^1 \equiv 1\).
For m = 3 er der to tal, som omløftet til 2’te potens, giver 1, når vi regner modulo 3. \(0^2 \equiv 0\) , \(1^2 \equiv 1\), \(2^2 = 4 \equiv 1\).
For m = 4 er der ét tal, som omløftet til 3’te potens, giver 1, når vi regner modulo 4. \(0^3 \equiv 0\) , \(1^3 \equiv 1\), \(2^3 = 8 \equiv 0\).
For m = 5 er der fire tal, som omløftet til 4’te potens, giver 1, når vi regner modulo 5. \(0^4 \equiv 0\) , \(1^4 \equiv 1\), \(2^4 = 16 \equiv 1\) , \(3^4 = 81 \equiv 1\).
Jeg har så taget værdierne (outputtet), indsæt det i et regneark, og tegnet en graf:
Nedenstående figur viser sammenhængen mellem værdier af m, for m = 1, 2, 3, …, 100, og antal gange \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m.
Antal a’er så \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m, for m = 1, 2, 3, … , 100
Alle prikkerne på den skrå linie kommer fra primtallene. Er m = 19, der er et primtal, så vil de 18 tal; 1, 2, 3, 4, …, 18 alle give 1, når der opløftes i potensen 19, og man regner modulo 19.
Når m således er et primtal, så vil der for alle tal a, der er mindre end m, og større end 0, gælde at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m.
For m = 91, der ikke er et primtal, er der ikke mindre end 36 værdier for a, som giver 1, når de opløftes i potensen 90, når vi regner modulo 91. Det er 40% af de mulige a-værdier.
Hvis vi laver en tilsvarende figur for m = 1, 2, 3, … , 1000 får vi
Antal a’er så \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m, for m = 1, 2, 3, … , 1000
Til sidst en figur for m = 1, 2, 3, … , 10000:
Antal a’er så \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m, for m = 1, 2, 3, … , 10000
For m = 6601 er der 5280 værdier for a, som, når de opløftes i potensen 6600, giver 1, når vi regner modulo 6601. Det svarer til 80%.
For m = 8911 er der ikke mindre end 7128 værdier for a, som, når de opløftes i potensen 8910, giver 1, når vi regner modulo 8911. Det svarer også til 80%.
Antag at vi vil undersøge om tallet m er et primtal.
Vi vælger så f.eks. 10 tilfgældige tal a blandt tallene 1, 2, 3, …, m-1.
Vi undersøger, for hvert af disse, om \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m.
Hvis m er et primtal, så vil der for alle de 10 værdier af a gælde at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m.
Hvis m ikke er et primtal, så vil der for hver af de 10 tal gælde, at sandsynligheden for, at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m, normal er langt mindre end \(\frac{1}{3}\).
Sandsynligheden for, at der for alle de 10 tal gælder, at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m , er dermed langt mindre end \(\left( \frac{1}{3} \right) ^{10} = 0.000017 = 0.0017\)%.
Hvis m ikke er et primtal, så er det altså ret usandsynligt at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m for alle 10 forskellige værdier af a.
Lad os til sidst se på, hvor mange procent af tallene mellem 1 og m-1, for m = 1, 2, 3, …, 100000, som opfylder at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m.
Jeg har optalt resultaterne, og omreget til procent. Da 0 opløftet i en potens aldrig kan give 1, så ser jeg bort fra a = 0.
Vi ved, at når m er et primtal, så vil alle a‘er, når de opløftes i potensen m-1, give 1, regnet modulo m. Så procentdelen, for alle primtal, er 100%.
Men omvendt; hvis nu procentdelen for et helt tal m er 100%, kan vi så være sikker på at m er et primtal? Dét kan der med garanti siges noget klogt om, men pointen er her, at Fermats primtalstest reelt kun kan bruges til at afvise at et tal er et primtal; får man nemlig ikke resultatet 1 når man beregner \(a^{m-1}\) mod m, for bare en værdi af a, så er m ikke et primtal
Figuren viser resultaterne:
For hver værdi af m i intervallet 2 til 100000. procentdel af a’er som opfylder at \(a^{m-1} \equiv 1\) modulo m
For m = 46657 vil 88.9% af a‘erne, når de opløftes i potensen 56656, give 1, når vi regner modulo 46657.
En gruppe er en mængde af elementer, og en regneoperation, som opfylder at
1 – Mængden af elementer skal være lukket mht. regneoperationen. 2 – Der skal gælde en parentesregel; a + (b + c) = (a + b) + c 3 – Der skal være et neutralt element. 4 – Alle elementer skal have et inverst element.
Vi har her brugt ‘+’ som symbol for regneoperationen. Når man bruger ‘+’ som regneoperation, så bruger man ofte ‘0’ som symbol for det neutrale element.
Lad os se på \(\mathbb{Z}_n\) når \(n=10\).
Vi vil altså her se på \(\mathbb{Z}_{10}\).
Denne mængde består af de 10 elementer
\(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\)
Den tilhørende regneopeartion er ‘+’. Man adderer altså to elementer, ved at lægge dem sammen som man plejer. Får man en sum som er større end 9, så ‘reguleres ned’ modulo 10:
Jeg har farvet tallet 2 i første kolonne og tallet 3 i første række røde. Disse to tal, lagt sammen, giver 5. Derfor er 5-tallet inde i tabellen også farvet rødt.
Jeg har farvet tallet 6 i første kolonne og tallet 7 i første række blå. Disse to tal, lagt sammen, giver 13. 13 er kongruent med 3 modulo 10. Derfor er 3 tallet inde i tabellen farvet blåt.
Mængde \(\mathbb{Z}_{10}\) med regneoperationen ‘+’ udgør en gruppe. Tallet ‘0’ er det neutrale element.
Betingelsen ‘1 – Mængden af elementer skal være lukket mht. regneoperationen’ er opfyldt, for når vi adderer to tal, og reducerer modulo 10, så får vi igen et element i \(\mathbb{Z}_{10}\).
Betingelsen ‘2 – Der skal gælde en parentesregel; a + (b + c) = (a + b) + c‘ er opfyldt, for parentesreglen gælder for de almindelige tal, så ventres side bliver altis lig højre side, og når vi reducerer modulo n så får vi altså samme resultat.
Betingelsen ‘3 – Der skal være et neutralt element’ er opfyldt; tallet ‘0’ er nelig et neutralt element, for lægges det til ethvert element i \(\mathbb{Z}_{10}\) får vi uændret samme element. Det ses også af tabellen, hvor række 2, med 0 til ventre, bare består af tallene 0, 1, 2, …, 9. Vi ser også at 2. søjle, søjlen med et 0 for oven, også består af tallene 0, 1, 2, …, 9.
Betingelsen ‘4 – Alle elementer skal have et inverst element’ er opfyldt. F.eks. har 7 et inverst element. Lægger man nemlig 3 til 7, så får man 10, der er kongruent med 0 modul 10. Elementet 3 er altså det inverse element til elementer 7. Hvis man ser ned gennem tabellen, så ser man at der er 0’er i alle rækker. Alle elementer i \(\mathbb{Z}_{10}\) har dermed et inverst element.
