Nu tænker du nok; Gad vide hvad en gruppe er. Og hvad kan det med grupper bruges til?
Måske tænker du? Skal jeg ikke bare springe det med grupper over, det virker list mystisk, det er nok for svært for mig. Men brug nu 15 minutter på at læse testen, tænk over hvad der står, og så har du styr på hvad en gruppe er.
Det med grupper er egentlig ikke så svært. Det er måske lidt abstrakt, men det er ikke svært. Hvis man arbejder med matematik, så lægger man måske mærke til, at man, i en masse forskellige tilfælde, står over for de samme problemer/udfordringer. Måske lægger man mærke til, at de ting man arbejder med, opfører sig på sammen måde, og at de opgaver man skal løse, kan løses på samme måde, selv om der er tale om helt forskellige ting. Her skal læseren se en masse konkrete eksempler/opgaver for sig, som måske, i første omgang, ikke har noget med hinanden at gøre, men som faktisk kan løses på præcis samme måde. At de kan løses på præcis sammen måde skyldes måske, at det er samme slags problemer, bare i forskellige forklædninger. Matematikeren ser måske dette, og laver så en generel teori der beskriver de forskellige konkrete eksempler, og forklarer hvordan opgaver kan løses. Gruppeteori er noget abstrakt matematik, som kan bruges i en masse konkrete tilfælde.
Måske har jeg hægtet læseren af her, for hvad mener jeg? Hvis du går i gymnasier, så kender du til lineær vækst. Det er noget med y = ax + b. Lineær vækst kan bruges til at beskrive en masse konkrete eksempler. Selve teorien om lineær vækst er en abstrakt teori, der ikke er bundet til eksemplerne. Teorien for lineær vækst kommer fra, at en matematiker, en gang for længe siden, har set en masse fællestræk ved en masse konkrete opgaver. Matematikeren har så lavet en abstraktv teori om ‘ineær vækst’. Den generelle teori om lineær vækst kan så bruges i en masse konkrete eksempler; taletidskort, taxakørsel, …
Eller et mere jordnært eksempel: Når man tager kørekort, så lærer man at køre bil. Man lærer ikke at køre Volvo. Man lærer ikke at køre Opel. Man lærer at køre i den abstrakte størrelse der kaldes for’ bil’. Grunden til at det giver mening, altså det at lære at køre bil, er, at alle biler, mere eller mindre, opfører sig på samme måde. Der er et rat, der er et gear, der er nogle pedaler m.v. Når man har lært at køre ‘bil’, så kan man køre Volvo, så kan man køre Opel, …
Når man har taget kørekort til ‘grupper’, så ved man hvordan man arbejder med grupper, og man ved hvilke regler der gælder for grupper. Når man så møder en konkret gruppe, så kan den generelle teori, som man har lært, bruges til det konkrete tilfælde.
Nok snak. Tilbage til det med grupper.
Vi ved alle hvad der menes med en gruppe mennesker. Men hvad menes der med en gruppe, i matematik?
I matematik er en gruppe ikke anden end en mængde af elementer, og en regneoperation, som opfylder de fire krav:
1 – Mængden af elementer skal være lukket mht. regneoperationen.
2 – Der skal gælde en parentesregel; a + (b + c) = (a + b) + c
3 – Der skal være et neutralt element.
4 – Alle elementer skal have et inverst element.
Lad og sige at vores regneoperation er ‘+’.
Kalder vi elementerne for a, b, c, … så kan de fire krav, til det at være en grupper, skrives
1 – Summen a + b af to elementer a og b skal også være et element i mængden af elementer.
2 – Der skal gælde at a + (b + c) = (a + b) + c.
3 – Der skal være et nul-element 0 (nul).
4 – For hvert element a skal der findes et andet element b, således at a + b = 0 (og b + a = 0).
I nogle grupper er a + b ikke lig b + a, så derfor står der i punkt 4 at der både skal gælde at a + b = 0 og b + a = 0.
Som huskeregel for de krav, der er til det at være en gruppe, kan man bruge ‘CAN I’.
Bogstavet ‘C’ står for ‘Closed’, dvs. lukket. Bogstavet ‘A’ så for ‘Associativ’, som er navnet på parentesreglen. Bogstavet ‘N’ så for ‘Neutralt element’. Bogstavet ‘I’ står for ‘Inverst element’.
Det lyder måske lidt mystisk, og for folk der er vant til at bruge ‘grupper’ er det nok trivielt, men for os andre er det med grupper en noget mystisk ting, som ikke siger de fleste ret meget. Men prøv at huske på ‘CAN I’, og se se på eksemplerne herunder.
C = Closed = Lukket A = Associativ regel: a + (b + c) = (a + b) + c N = Neutral element N I = Alle elementer har et inverst element, summen af de to lig N.
Eksempel 1
Lad og se på mængden af de hele tal. Som regneoperation tager vi ‘plus’, dvs. ‘+’.
Påstanden er nu, at mængden af hele tal, med regneoperationen ‘plus’, er en gruppe.
1 – Lægger vi to hele tal sammen, så får vi et nyt helt tal. Mængden af hele tal, sammen med ‘plus’, er altså lukket.
2 – For hele tal gælder at a + (b + c) = (a + b) + c. F.eks. er 6 + (4 + 3) = (6 + 4) + 3. Det er derfor man ikke skriver parenteser når man skriver 6 + 4 + 3, for det er lige meget i hvilken rækkefølge man lægger tallene sammen. Hvis rækkefølgen betød noget, så skulle man nemlig indsætte parenteser.
3 – Det neutrale element er 0. Når man lægger tallet 0 til et helt tal a, så gælder jo at a + 0 = a og 0 + a = a .
4 – Alle elementer skal have et inverst element. Elementet 7 har f.eks. det inverse element -7. Det skyldes at 7 + (-7) = 7 – 7 = 0.
Eksempel 2
Lad os nu prøve selv at lave en gruppe. Vi siger at der skal være fire elementer i grupper. Lad os kalde de fire elementer for a, b, c og d.