Vi vi i dette afsnit se på restklasserne \({ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 }\).
Vi skal se på hvordan man lægger to elementer sammen og hvordan man ganger to elementer med hinanden.
Vi bruger symbolet ‘\(+\)‘ for gange, og vi bruger symbolet ‘\(\cdot\)‘ for gange.
Vores legeplads i dette afsnit er altså de fem elementer \({ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 }\), og vi skal se på regler for hvordan man lægger to elementer sammen og hvordan man ganger to elementer.
Det, at vi har valgt at kalde de fem elemener i \(\mathbb{Z}_5\) for 0, 1, 2, 3, 4 er forpligtende. Skal man addere 1 og 2, så skulle man gerne få 3. Sådan er det med de helt tal. Det vil være forvirrende hvis 1 + 2 = 4.
Vi går lige til sagen. Vi laver en tabel for addition og en tabel for multiplikation:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| \(\cdot\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 1 | 3 |
| 3 | 0 | 3 | 1 | 4 | 2 |
| 4 | 0 | 4 | 3 | 2 | 1 |
Den måde tabellerne udfyldes på, er ved at se på det talskema vi har set tidligere:
| 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
| 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
Som almindelige hele tal har vi f.eks. at 2 + 3 = 5. Men 5 er kongruent med 0, så i vores mængde \(\mathbb{Z}_5\) er \(2 + 3 =5 \equiv 0 \), og der ser man i additionstabellen.
På samme måde så vil der for de helt almindelige hele tal gælde, at \(4 \cdot 4 = 16\). Men da 16 er kongruent med 1, så gælder i \(\mathbb{Z}_5\) at \(4 \cdot 4 = 16 \equiv 0\). Det ser vi også i multiplikations-tabellen.
For at lave regneregnerne for de fem elementer i \(\mathbb{Z}_5\), så går vi altså nogle gange ‘ud’ af mængden \(\{ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 \}\) , men med kongruens fører vi resultatet tilbage igen til mængden \(\{ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 \}\).
Dette afsnit hedder restklasser, og det er præcis det mængen \(\mathbb{Z}_5\) bestående af 5 elemener er, med de regneregler der er defineret i de to tabelle.
Det er desuden klart hvad \(\mathbb{Z}_5\) er, og det burde være klart hvordan vi regner i \(\mathbb{Z}_5\).
I de næste to afsnit ser vi på \(\mathbb{Z}_n\) og \(\mathbb{Z}_n^{*}\).