Restklasseregning

Vi vi i dette afsnit se på restklasserne

$${ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 }$$ .

Vi skal se på hvordan man lægger to elementer sammen og hvordan man ganger to elementer med hinanden.

Vi bruger symbolet ‚

$$+$$ ‚ for gange, og vi bruger symbolet ‚ $$\cdot$$ ‚ for gange.

Vores legeplads i dette afsnit er altså de fem elementer

$${ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 }$$ , og vi skal se på regler for hvordan man lægger to elementer sammen og hvordan man ganger to elementer.

Det, at vi har valgt at kalde de fem elemener i

$$\mathbb{Z}_5$$ for 0, 1, 2, 3, 4 er forpligtende. Skal man addere 1 og 2, så skulle man gerne få 3. Sådan er det med de helt tal. Det vil være forvirrende hvis 1 + 2 = 4.

Vi går lige til sagen. Vi laver en tabel for addition og en tabel for multiplikation:

+	0	1	2	3	4
0	0	1	2	3	4
1	1	2	3	4	0
2	2	3	4	0	1
3	3	4	0	1	2
4	4	0	1	2	3

$$\cdot$$	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4
2	0	2	4	1	3
3	0	3	1	4	2
4	0	4	3	2	1

Den måde tabellerne udfyldes på, er ved at se på det talskema vi har set tidligere:

0	1	2	3	4
5	6	7	8	9
10	11	12	13	14
15	16	17	18	19
20	21	22	23	24

Som almindelige hele tal har vi f.eks. at 2 + 3 = 5. Men 5 er kongruent med 0, så i vores mængde

$$\mathbb{Z}_5$$ er $$2 + 3 =5 \equiv 0$$ , og der ser man i additionstabellen.

På samme måde så vil der for de helt almindelige hele tal gælde, at

$$4 \cdot 4 = 16$$ . Men da 16 er kongruent med 1, så gælder i $$\mathbb{Z}_5$$ at $$4 \cdot 4 = 16 \equiv 0$$ . Det ser vi også i multiplikations-tabellen.

For at lave regneregnerne for de fem elementer i

$$\mathbb{Z}_5$$ , så går vi altså nogle gange ‚ud‛ af mængden $$\{ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 \}$$ , men med kongruens fører vi resultatet tilbage igen til mængden $$\{ \:0, \:1 , \:2, \:3, \:4 \}$$ .

Dette afsnit hedder restklasser, og det er præcis det mængen

$$\mathbb{Z}_5$$ bestående af 5 elemener er, med de regneregler der er defineret i de to tabelle.

Det er desuden klart hvad

$$\mathbb{Z}_5$$ er, og det burde være klart hvordan vi regner i $$\mathbb{Z}_5$$ .

I de næste to afsnit ser vi på

$$\mathbb{Z}_n$$ og $$\mathbb{Z}_n^{*}$$ .