En gruppe er en mængde af elementer, og en regneoperation, som opfylder at
1 – Mængden af elementer skal være lukket mht. regneoperationen.
2 – Der skal gælde en parentesregel; a + (b + c) = (a + b) + c
3 – Der skal være et neutralt element.
4 – Alle elementer skal have et inverst element.
Vi har her brugt ‚+‛ som symbol for regneoperationen. Når man bruger ‚+‛ som regneoperation, så bruger man ofte ‚0‛ som symbol for det neutrale element.
Lad os se på \[\mathbb{Z}_n\] når \[n=10\].
Vi vil altså her se på \[\mathbb{Z}_{10}\].
Denne mængde består af de 10 elementer
\[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\]
Den tilhørende regneopeartion er ‚+‛. Man adderer altså to elementer, ved at lægge dem sammen som man plejer. Får man en sum som er større end 9, så ‚reguleres ned‛ modulo 10:
\[2+2 = 4 \equiv_{10} 4\]
\[4+4 = 8 \equiv_{10} 8\]
\[8+8=16 \equiv_{10} 6 \]
Det er let at lave en additionstabel:
| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 0 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 2 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 |
| 3 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 |
| 4 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| 5 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 6 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 7 | 7 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 8 | 8 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 9 | 9 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
Jeg har farvet tallet 2 i første kolonne og tallet 3 i første række røde. Disse to tal, lagt sammen, giver 5. Derfor er 5-tallet inde i tabellen også farvet rødt.
Jeg har farvet tallet 6 i første kolonne og tallet 7 i første række blå. Disse to tal, lagt sammen, giver 13. 13 er kongruent med 3 modulo 10. Derfor er 3 tallet inde i tabellen farvet blåt.
Mængde \[\mathbb{Z}_{10}\] med regneoperationen ‚+‛ udgør en gruppe. Tallet ‚0‛ er det neutrale element.
Betingelsen ‚1 – Mængden af elementer skal være lukket mht. regneoperationen‛ er opfyldt, for når vi adderer to tal, og reducerer modulo 10, så får vi igen et element i \[\mathbb{Z}_{10}\].
Betingelsen ‚2 – Der skal gælde en parentesregel; a + (b + c) = (a + b) + c‚ er opfyldt, for parentesreglen gælder for de almindelige tal, så ventres side bliver altis lig højre side, og når vi reducerer modulo n så får vi altså samme resultat.
Betingelsen ‚3 – Der skal være et neutralt element‛ er opfyldt; tallet ‚0‛ er nelig et neutralt element, for lægges det til ethvert element i \[\mathbb{Z}_{10}\] får vi uændret samme element. Det ses også af tabellen, hvor række 2, med 0 til ventre, bare består af tallene 0, 1, 2, …, 9. Vi ser også at 2. søjle, søjlen med et 0 for oven, også består af tallene 0, 1, 2, …, 9.
Betingelsen ‚4 – Alle elementer skal have et inverst element‛ er opfyldt. F.eks. har 7 et inverst element. Lægger man nemlig 3 til 7, så får man 10, der er kongruent med 0 modul 10. Elementet 3 er altså det inverse element til elementer 7. Hvis man ser ned gennem tabellen, så ser man at der er 0’er i alle rækker. Alle elementer i \[\mathbb{Z}_{10}\] har dermed et inverst element.